2 Nisan 1947 tarihinde İstanbul’da doğan Mete Bozkurt, futbola Altınay Kulübünde başladı, kısa bir süre sonra 1964 senesinde İstanbulspor’a transfer oldu. Metin Türelin yedeği olarak, 1964-1965 sezonuna başladı. İlk maçını 17 yaşında iken İzmirspor’a karşı 21.11.1964 tarihinde oynadı. 9 sezon İstanbulspor’da forma giydi, bu sürede toplam 159 defa Sarı-Siyahlı kaleyi korudu. Yine bu sürede 5 defa Genç Milli olma başarısı gösterdi.
1973 senesinde Beşiktaş’a transfer oldu. Mete Bozkurt transferinde yaşanan olayları şöyle anlatmıştı.
‘’1973 yılında İstanbulspor’la mukavelem bitmişti ve başkanımız Ali Sohtorik’le anlaşamadık. Zannediyorum kişisel bir sebepten beni küçük görmüştü ve transfer görüşmesi bile yapmadan odasından çıkıp bağlarımı kopardım. Aynı gün tesadüfen Beşiktaşlı yönetici Ferhan Dinçer ve basın mensubu Orhan Vedat Sevinçli ile Cağaloğlu’nda karşılaştık. Serbest kaldığımı öğrenince önce hemen Beşiktaş’a, Niyazi Kalkavan’ın yanına getirdiler. Tarih 31 Temmuz’du ve transferin son günüydü. Beşiktaş’ta da kaleci problemi vardı. Birinci kaleci Sabri Dino’ydu ama ikinci kalecilerinde sorun vardı. Benim de maliyetim yoktu ve sonra Niyazi Abi başkanımız Mehmet Üstünkaya’ya telefon açtı. O da “Aman Niyazi, hemen buraya getir” dedi. Karaköy’deki Bankalar Caddesi’ne gittik. Haberim yoktu ama bir basın ordusu karşıladı beni. Saat 17.30 olmasına rağmen noteri de ayarlamışlardı. Gerçekten çok şaşırmıştım. Çünkü benim amacım Beşiktaş’ta idmanlara çıkıp daha sonra kiralık olarak bir takımda futbol hayatımı devam ettirebilmekti. İmzalar atıldıktan sonra Üstünkaya ile baş başa kaldık. Bana “Mete ne istiyorsun?” dedi. Ben de “Bu pozisyonda talep edeceğim bir şey yok. Beşiktaş’la idmanlara çıkıp, bu patent altında başka bir yerde kiralık oynayabilmek bana yapacağınız en büyük iyilik olur” dedim. Ama o; “Oğlum, sen benim ikinci kalecim ol, ben sana hakkını vereceğim” dedi. Teşekkür ederek yanından ayrıldım ve takımın Sarıyer’deki kampına gittim. Metin Türel’le yeniden bir araya geldik ancak bu sefer o benim antrenörümdü.’’
1977-1978 sezonunun sonuna kadar Beşiktaş’ta forma giydi. 1979-1980 sezonunun devre arasında, 2 Şubat 1980 tarihinde, Bulgaristan’ın Botev takımıyla oynanan maçta jübilesini yaptı ve aktif futbolculuk yaşantısını sonlandırdı.
1980 senesinde Galata’da ve 1981-1982 senelerinde S.Sirkeci’de oynadıktan sonra teknik direktörlüğe başladı.
1994 senesinde Zeytinburnuspor’da antrenörlük yaparak teknik adamlığa başladı. Bu deneyim 1 sene sürdü, daha sonra aynı kulüpte 2000 senesinde kaleci antrenörü olarak görev yaptı.
2001 senesinden sonra Beşiktaş Kulübünün alt yapılarında çeşitli kademelerde 2015 senesine kadar çalıştı.
30 Mayıs 2016 tarihinde aramızdan ayrıldı. Cenazesi BJK Fulya Hakkı Yeten Tesisleri’nde düzenlenen törenin ardından, Siyah-Beyaz ve Sarı-Siyahlı bayraklarla Sinan Paşa Camiinde kılınan cenaze namazı sonrası defnedilmek üzere Sakarya’nın Akyazı ilçesindeki Kayalar Köyü’ne götürüldü.
Mete Bozkurt’u saygı ile anıyoruz.
Mete ağabey futbolu bırakmadan önce Süleymaniye Sirkeci forması giydi. Hatta İstanbulspor maçında 2.lig de özellikle oynamadı. Daha sonra her toplantıya geldi ve İstanbulspor sevgisini ortaya koydu.