1936 senesinde dünyaya gelen Yılmaz Yaşınkılıç, futbola İstanbulspor alt yapısında başladı ve burada yetişti. 1954-1955 sezonunda A takımına yükseldi. Küçük Yılmaz olarak anılan Yaşınkılıç, ilk maçını A takımına yükseldikten 2 sene sonra, 5 Aralık 1956 tarihinde Mithatpaşa Stadında Emniyet ile 1-1 Devamını Oku..